一個質點的運動(解答)

解答:(1)這題是在問入洞的條件，如何才會入洞? 

             答案是長寬比是"有理數"，就會入洞，why?

             因為以45度出發，對於長及寬而言，都以

             "相同"行走距離分別在長及寬上來回行走。

             直到哪裡才會停下來?? 當走到長度m與寬度n

             的"最小公倍數"，就會到達某一角落，因此就入洞了。

             若長與寬的比例不是有理數，則永遠找不到兩個

             整數p及q，滿足mp=nq。

          (2)由(1)得知為有理數，那既然是有理數，一定可以

              化簡長度m及寬度n，使得(m,n)=1

              如下面兩圖，你會發現長度:寬度=4:3 及8:6的兩圖

               路徑完全一樣。

        

         

                    
      好的，根據上面兩張圖，你會發現，對於長m與寬n，
      寬度n而言，走了m次，長度m，走了n次，你若不了解的話，可以參考下圖

             

         由上面，我們得到一結論，對於入哪一個洞，是關係到長與寬的路徑
"來回"走幾次，對吧??以4:3的長寬比而言，長度"來回"共走3次，寬度"來回"
共走4次，所以入洞在右下角，也就是說:若我們得知長:寬=m;n(其中m,n)=1，
只要得知n及m的"奇偶性"的話，不就可以得知會入哪一個洞嗎?

     所以(m,n)=1的話，

所以，若(m,n)=(偶數，奇數)，則入右下角的洞

            若(m,n)=(奇數，偶數)，則入左上角的洞
            若(m,n)=(奇數，奇數)，則入右上角的洞

   若(m,n)=(偶數，偶數)，則入左下角的洞????

    這是不可能的!!因為若這樣，m與n必須在化簡得到一最簡分數，才有辦法根據上面的奇偶數判定入哪一個洞。

   

(3)所以根據上面的說明，因為(m,n)不可能同時是偶數(若都是偶數，必須再化簡)，所以間接說明，該質點不可能入原來的左下角的洞。

(4)這一題，你可以想到什麼?? 我想到跟兩個重要定理有關(下次分解)，不過對於高中生而言，上面若能解析清楚，就算很厲害了!。