高中(平面向量-等腰梯形求解)

 

有關兩個數的比較

Hi :大家好!

最近心血來潮，小小發現一件事，就是如何很快地判斷出兩個數(a^b及b^a)哪個較大，

在某些情況下，連算都不用算，就可直接寫出答案。好，廢話不多說，直接進入主題。

問題1: 比較兩個數的大小:    5^6  及 6^5

答案: 5^6 > 6^5 (敲敲計算機囉或者用google的搜尋網頁直接敲入5^6-6^5，如下圖)

說明: 你可能覺得我在廢話!就敲google或是在EXCEL的FORMULA打一些數字就好，對吧?   

         如果是這樣，那我幹嘛在這裡，還這麼辛苦寫Blog，頭殼壞了! 對吧?

         

         開始進入主題囉!

(1) 你有沒注意到，5^6 為何大於6^5?  好像底數較小的，經過乘冪後，最

       後的值會較大，對吧? (小小歸納，真的是這樣嗎? 也許喔)

(2)那根據這小小發現，我們來試一下其他的數吧!

    例如 : 3^4 及4^3，哪個大? 3^4=81，4^3=64，Bingo! 我們好像又猜對了 

   再例如: 4^6 及6^4 ，哪個大? 4^6=2^12=4096，6^4=216*6=1296, YA! 再次Bingo!

  數學的目標在於: 

 透過直觀、歸納、入手!  但我們目前還在歸納中，還沒有建立一個可靠的思考體系， 沒關係，慢慢來喔!

(3)根據上面說的， 再試試其他的數看看吧! 

     例如: 2^4及4^2，哪個大? 結果是一樣大!!!!! 有沒突然感到挫折! 想不到竟然也有例外，

   

 心情: 你這時候會不會心情沮喪的感覺呢? 就算了吧? 唉呦，如果世界上的事物都那麼簡單看穿的話，那多無趣阿! 打起精神來，因為你就是獨一無二的阿!，就是要來解決困難的問題阿! 

(4) 我們有注意到，好像2這個數很小，對吧? 是不是小的數，就不會成立呢?

     試看看喔! 例如 2^3及3^2，哪個大? 耶3^2>2^3。

     終於發現例外了，但我們也感覺到好像數字較小時，會發生a^b<b^a (a<b)的情形喔! 不要灰心

    喔!

(5)

   

    

     

 

 

一個質點的運動(解答)

解答:(1)這題是在問入洞的條件，如何才會入洞? 

             答案是長寬比是"有理數"，就會入洞，why?

             因為以45度出發，對於長及寬而言，都以

             "相同"行走距離分別在長及寬上來回行走。

             直到哪裡才會停下來?? 當走到長度m與寬度n

             的"最小公倍數"，就會到達某一角落，因此就入洞了。

             若長與寬的比例不是有理數，則永遠找不到兩個

             整數p及q，滿足mp=nq。

          (2)由(1)得知為有理數，那既然是有理數，一定可以

              化簡長度m及寬度n，使得(m,n)=1

              如下面兩圖，你會發現長度:寬度=4:3 及8:6的兩圖

               路徑完全一樣。

        

         

                    
      好的，根據上面兩張圖，你會發現，對於長m與寬n，
      寬度n而言，走了m次，長度m，走了n次，你若不了解的話，可以參考下圖

             

         由上面，我們得到一結論，對於入哪一個洞，是關係到長與寬的路徑
"來回"走幾次，對吧??以4:3的長寬比而言，長度"來回"共走3次，寬度"來回"
共走4次，所以入洞在右下角，也就是說:若我們得知長:寬=m;n(其中m,n)=1，
只要得知n及m的"奇偶性"的話，不就可以得知會入哪一個洞嗎?

     所以(m,n)=1的話，

所以，若(m,n)=(偶數，奇數)，則入右下角的洞

            若(m,n)=(奇數，偶數)，則入左上角的洞
            若(m,n)=(奇數，奇數)，則入右上角的洞

   若(m,n)=(偶數，偶數)，則入左下角的洞????

    這是不可能的!!因為若這樣，m與n必須在化簡得到一最簡分數，才有辦法根據上面的奇偶數判定入哪一個洞。

   

(3)所以根據上面的說明，因為(m,n)不可能同時是偶數(若都是偶數，必須再化簡)，所以間接說明，該質點不可能入原來的左下角的洞。

(4)這一題，你可以想到什麼?? 我想到跟兩個重要定理有關(下次分解)，不過對於高中生而言，上面若能解析清楚，就算很厲害了!。     

有關ax^2+bx+c的判別式討論(有點難度，與大學的微分方程有關)

前一陣子，在班群討論多項式(那時後寫成一元二次方程式)在計算極值發生的地方，如何計算?? 現再說明一下

有關黑色星期五的研究

看到這個，你可以想到什麼?? 就是每年最少有一個黑色星期五(對平閏年都一樣)

還有呢...最多也各有3個，還有...還有

平年最晚碰到黑色星期五的是9月，而閏年呢是10月.....

還有呢.....我們若不知道平閏年的話，那有可能只根據某一個月的黑色星期五來確定是平年或閏年嗎??

可以的，例如若1年中只有10月碰到黑色星期五...則那一年一定是閏年......

            或者是若1年中只有8月碰到黑色星期五...則那一年一定是平年......

一堆可以想的.........

我發現我適合當數學老師,,,因為數學太有趣了...................................

上次根據一個質點運動，我個人把它推廣後，跟兩個定理有關:
 (1)中國剩餘定理(外國人稱為Chinese Reminder Theorem)，在中國，又稱為
      韓信點兵問題。以下是韓信點兵的圖解法。

如左上圖，一個長8寬5的長方形，若從左下角開始以45度出發，期間都沒有磨擦力，直到入到4個角落為止，根據左圖，最後會到右下角落就停下來。

聯想: 這個東西到底有何用??

 題目: 有一士兵人數不超過40個人，每8個一數，餘3個人，每5個一數，餘2個，請問，該些士兵人數有幾個??

答案: 用左圖的圖解法:

(1) 首先在長8的長度中，根據剩餘3來畫兩條直線。

這兩條直線是有方向的!!(請想想看為何會這樣??)

同理，在寬是5的長度中，根據剩餘2來畫兩條直線。

(2)定義: 根據紅方向及綠方向在紅線與綠線交會處，紅向量及綠向量產生之合向量如(右上圖)。

(3)由左下角方向出發之方向，在碰到紅綠四個交點中，若行進方向與紅綠產生之合向量方向相同的話，則就停止前進。

(4)然後從出發點出發開始計數，直到停止點為止，其計數的值，就是答案。

另一個聯想到的定理是傅立業轉換，下回有空再分解。

一個質點的運動

     有一質點，如下圖，從一長方形平面之左下角以45度發射，在入4個角落(稱為入洞)之前，完全遵守反射定律，並且平面上完全無摩擦力。

問題:(1)請問入洞的條件? 
         (2)若能入洞，入哪一個洞?
         (3)請問，會回到原來左下角的洞嗎? 
         (4)你根據這題，可以想到或推廣什麼嗎?